書記が数学やるだけ#947 ハーン・バナッハの拡張定理，ハーン–バナッハの分離定理
ハーン・バナッハの拡張定理，ハーン–バナッハの分離定理の証明について。
問題
説明
ハーン–バナッハの拡張定理は，ベクトル空間の部分空間上で定義される有界線形汎関数が全空間へ拡張できることについて示している。
ハーン–バナッハの分離定理は，凸幾何学，最適化理論，経済学の分野で幅広く用いられている。
解答
ハーン・バナッハの拡張定理の証明について，部分空間上で定義された「劣線形関数 p に抑えられた線形関数 f」を、その性質を保ったまま空間全体へと次元を1つずつ拡大し（(1), (2)）、最終的にツォルンの補題を用いて空間全体 X まで拡大できること（(3), (4)）を示す。
(1)について，左辺の上限と右辺の下限の間に少なくとも1つの実数 c を挟むことができる。
(2)では1次元拡張した関数を評価する。
拡張のペアの集合 P の任意の全順序部分集合が上界を持つことを，ツォルンの補題から示す。
P に極大元 (Fx ,F) が存在し、実は Fx =X であることを背理法により示す。
ハーン・バナッハの分離定理の証明では，凸集合 A からミンコフスキー汎関数 pA という劣線形関数を作り出し（(1), (2)），それに対してハーン・バナッハの拡張定理を適用することで，凸集合 A とその外部の点 x0 を分ける超平面（線形関数 F）を構成する。
内部・外部とミンコフスキー汎関数の値の不等式を示しておく。
1次元部分空間上の線形関数の評価について，ハーン・バナッハの拡張定理から示せる。
最終的に，任意の x∈A に対して F(x)≤1 となる実線形関数 F の存在を結論づける。
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