書記が物理やるだけ#191 量子力学における測定

量子力学の前提となる考え方についていくつかまとめる。

問題

説明

量子力学はシュレーディンガー方程式を前提とし，量子系の状態の情報は波動関数に含まれる。ここで，古典力学では観測可能な量は一義的に決まるのに対し，量子力学では状態からオブザーバブルを用いて確率的に求められるのみである。

また，量子力学における物理量演算子は，古典力学のオブザーバブルに対応したエルミート演算子である。

オブザーバブルの期待値は，波動関数を用いて以下の式で計算できる。

量子化の手続きでは，古典力学のオブザーバブルを量子力学に読み替える。中でも正準量子化が重要である（詳細は次回）。

演算子の例をいくつか挙げておく。

シュレーディンガー方程式は線形偏微分方程式であり，固有関数の線形結合も解となる（重ね合わせの状態）。重ね合わせの状態では，期待値は確率的な値となり，期待値の分散が現れる。

解答

重ね合わせの状態におけるオブザーバブルを求めておく。

具体例について，固有方程式がわかるので解は容易に得られる。ここで，測定値は2つの固有値いずれかで，どちらが測定されるかは確率的に決まる。

次にエルミート演算子の具体例を扱う。以下に示すように，位置・運動量・ハミルトニアンなどが該当する。

まずはエルミート性の式変換の確認。

ここでは部分積分を用いて示す。

これらからハミルトニアンがエルミートであることが示せた。

本記事のもくじはこちら：