書記が物理やるだけ#312 統計力学における固体の熱振動
固体物理に関係する内容を統計力学から見てみる。
問題
説明
アインシュタイン模型とは，「N個の同種原子からなる結晶の格子振動をN個の独立な３次元調和振動子とみなし且つ全てが同じ角振動数を持つとした」もので，1906年に執筆した論文『輻射に関するプランクの理論と比熱の理論』および1910年に執筆した論文『一原子分子からなる固体における弾性的性質と比熱の関係』でこの理論を発表した。
これは，1819年にフランスの物理学者であり化学者でもあるピエール・ルイ・デュロンとアレクシ・テレーズ・プティが独立に実験的に見出して発表したデュロン＝プティの法則と，高温ではよく一致した。
1912年にピーター・デバイにより考え出されたデバイ模型では，原子の熱による格子振動を箱の中のフォノンとして扱うことで，低温における比熱が温度の三乗 に比例することを正しく予言し，高温においてもデュロン＝プティの法則とよく一致した。
解答
アインシュタイン模型における分配関数と平均エネルギーについて。
格子比熱について，低温では0に近づき，高温では3Rに近づく。
デバイ模型では分散関係を仮定する。
これにより格子比熱は，低温では温度の3乗に比例し，高温ではアインシュタイン模型と同様に3Rに近づくことが示せた。
本記事のもくじはこちら：
