書記が数学やるだけ#105 階乗の近似式-スターリングの近似

今回は，スターリングの近似について扱う。

問題

かつて存在した大阪大学の「挑戦枠」，通常の入試問題とは一線を画するものであった。これはその一つ，時間と手間のかかるスターリングの近似を入試で出すのはそうそうない。

説明

スターリングの近似は，階乗に対するものである。より広義には，ガンマ関数の近似に用いられる。

階乗と近似式の挙動は，ほぼほぼ重なっているのがわかる。

簡易版としては以下の式がある，多少ズレはあるもののスケールは十分に近似できている。

比をとって，誤差の比較をしてみる。

解法

(1)からして見た目がやばいが，「ウォリスの公式」が前提としてある。

その導出過程は過去に説明したのでここでは省略。

参考：

ウォリスの公式の活用例：

仮定として提示されている不等式から，はさみうちの定理にまで持っていく。

次は不等式の評価である。

ここでlog(1+x)のマクローリン展開を用いることになる。

(2)の不等式より(3)が証明できる。

最後は(1)~(3)を総動員して，目的となるスターリングの公式を証明する。

応用上重要な式でぜひ計算できるようになっておきたいところ。

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