書記が数学やるだけ#765 2次体の整数環
代数的整数論の初歩として，2次体について考えていく。
問題
京大の本問は，まさに2次体の整数環をもとにしたものである。
説明
2次体とは2次無理数からなる体である（体であることを容易に示せる）。ここでmの正負により実2次体と虚2次体に分かれ，後に示すようにこれらは性質が大きく異なる。
整数環とは，代数体に含まれるすべての整な元からなる環である。2次体の整数環は，4で割った余りにより2種類に分類される。
解答
2次無理数の係数は整数であることを示す問題である。本問は場合分けが多く注意が必要。まずはv=0の場合について。
2u+a=0の場合，さらにaの偶奇で場合分けする。
なお，√3であることには大きな意味があり，これが√5などになると失敗する。
これを一般化したのが以下に示す定理で，mが4で割って2余るor3余る場合はわかりやすい。
mが4で割って1余る場合のみ様相が変わる点に注意。
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