書記が数学やるだけ#878 ファン・デル・ポール方程式の近似解法

リミットサイクルの例としてファン・デル・ポール方程式を扱う。

問題

説明

ファン・デル・ポール振動子は，非線形の減衰を受けた非保存系の振動子で，オランダの電気工学者で物理学者でもあるバルタザル・ファン・デル・ポールが真空管を使用した電気回路内に安定な振動を発見したことからこの名がついている。この振動は現在リミットサイクルとして知られており，この回路をリミットサイクルの近傍で動作させると回路は引き込み現象をおこす。

似たようなモデルであるダフィング方程式について，ジャパニーズ・アトラクタがダフィング方程式におけるカオスの例としてよく知られている。

これの応用として，電気的興奮性細胞の活動電位を表現したモデルのフィッツフュー-南雲モデルが挙げられる。

摂動法が適用できない常微分方程式の近似法には，境界層理論・WKB近似・複スケール解析などが知られている。

解答

ここではファン・デル・ポールの手法に倣い，三極真空管を含むRLC回路からファン・デル・ポール方程式を導出する。

負性抵抗により非線形の減衰が生じる。

ここではF(x)とwの変数変換を行い，3次関数のヌルクラインを得る。

初期値を与えた軌道は，まず3次関数のヌルクラインへと素早く水平移動し，その後ヌルクライン上をゆっくりと移動し，屈曲部に達するともう一つの枝上の点へと一気に水平移動し，この繰り返しで2つのタイムスケールを持つ振動が生じる。

リミットサイクルの周期について，速いものはO(μ^-1)，遅いものはO(μ)と見積もれる。

ではここからはファン・デル・ポール方程式の解について考えていく。

通常の摂動法を適用しようとすると，sint, costを含む共鳴項が生じることから解が発散してしまい，うまく近似できない。

これを防ぐ方法の一つに複スケール法があり，これは速い時間τと遅い時間Tの2スケールを用いて共鳴項を回避する方法である。複スケール法では，x(t) を μ のべき級数で展開するためμ が十分小さい場合に有効である。

リミットサイクルは，半径2，振動数1の円に近似できる。

近似解は以下の通り。

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