書記が数学やるだけ#689 ラテン方陣（数独）の入試問題
数独はパズルとしてよく親しまれているが，数学的にも興味深いものである。
問題
どこかにあった数独そのものを入試にするのはどうかと思うが，以下のような場合の数として問題にした場合はやりごたえのある良問となる。
説明
数独のもとは，オイラーが考案したラテン方陣である。これは射影平面におけるブロックデザインや実験計画法の直交表などに応用されている。
解答
まずは京大の問題から，やり方はいろいろあると思うので参考程度に。
1行目には1~4のいずれかが入るので4!通り，どれがどう入っても対称性は保たれるので以下の例で進めていく。
次に2行目を埋めてもいいが，ここでは1列目を埋めて残りが3×3と綺麗になるようにする，その方が対称性が崩れた時に見やすいと思う。1以外の2~4いずれかが入るので3!通り，ここでも対称性は保たれる。
ここからが問題で，1は9マス入るが，2~4は4マスしか入らない，ここで1~4の対称性が崩れた。ここでは，より場合分けの容易そうな4を埋める想定で進めていく。
ここで4が入るのは以下の2通りに限られる，よってこの2つで場合分けして進める。
Aの場合，他のマスは全て1通りに決まる。
一方でBの場合は1,3の入れ方で再び2通りに場合分けする。
B1の場合，ただ1通りに定まる。
B2の場合は以下の2通りに定まる。
以上をまとめて，全部で576通りあることがわかった。
次に慶應の問題，ここでは2×2のブロックが加わっているので，まずはここを埋めてみる。1ブロックを埋めるには4!通りある，この地点では対称性は保たれているので先に進む。
次に1行目と1列目を埋めることにする，というのもここまでは対称性が保たれるからである。
ここからが問題で，2行目の埋め方で場合分けを行う，ここで×2してはいけない理由は次でわかる。
というのも，Aについては2通りに定まるが，
Bについては1通りしかないからである，つまり2行目を埋める段階で対称性は崩れている。以上をまとめて288通りが答えである。
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