書記が数学やるだけ#387 平方剰余の相互法則の証明

少し前に扱った平方剰余の相互法則について，残りの部分を証明する。

問題

前回までの記事で準備を整えた。

説明

今回は以下を証明する。

解答

まずは，ガウスの規準で用いる数のリストの性質を整理する。

ガウスの規準の証明。

次に，床関数を含む数列和の性質について。

ここで格子点の個数を考える。唐突かもしれないが，これは(3)で出てきた式で示せる。

総まとめ。ここで格子点の式が重要になってくる。

平方剰余の相互法則は，オイラーによって予想され，ガウスによって証明された。さらに三次や四次の相互法則は，ヤコビ，アイゼンシュタインによって独立に証明され，より高次のまた一般的な代数的整数における一般的な相互法則の証明は（ヒルベルトの第9問題），高木貞治やエミール・アルティンによってなされた。

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