書記が数学やるだけ#702 立体射影の計算

多様体を考えるのに有効な立体射影について，簡単な例を示す。

問題

解答

本問は点光源の影を求める問題で文系にはかなり難しい。点Pから球面を通って平面に着くまでの直線をいくつか示しておく。

ここではPAとPQのなす角が45度であることに注目して，内積の公式に落とし込んで解いていく。

最終的に，射影は放物線の領域を作る。

今回は球面が多様体であることを立体射影を用いて示していく。立体射影を示す写像及び逆写像は以下のように計算できる。

ここで，N（北極）を中心とした立体射影とS（南極）を中心とした立体射影を考える。

これの共通集合は開集合であり，合成写像を考えることでC級であることが示せ，球面は多様体であることが言える。より一般にm次元球面についても同様にして多様体であることを示すことができる。

本記事のもくじはこちら：