書記が数学やるだけ#666 交換子部分群，可解群

後にガロア理論で用いる可解群について。

問題

対称群が可解かどうかの判定が目標である。

説明

導来群を作る操作を繰り返しすことで導来列を作る。

可解群は導来列が自明な群で終わるような群である。ここで，「可解」という語はガロア理論による5次以上の一般の方程式は代数的に解けないこと（アーベル–ルフィニの定理）の証明から来ている。

解答

交換子群の性質についていくつかまとめる。計算の仕方は共役類に似ている。

可解群と有限なアーベル正規列の言い換えについて。

可解かどうか知るには交換子群を計算する。

ここでn5以上の場合は交代群の導来列は有限で止まらない。

このことから，n4以下では可換だが，n5以上では可換でないことがわかる。

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