書記が数学やるだけ#647 クリストッフェル記号，共変微分

テンソルの微分を考えるために必要な道具を揃えていく。

問題

説明

クリストッフェル記号は，測地線の微分方程式を示すために導入された。

テンソルについて微分を考えたいところだが，普通の常微分ではテンソルとならないことがあり不都合である。

これを補正するために，クリストッフェル記号を用いた共変微分を定義する。

解答

まず第一種クリストッフェル記号を計算する。

第二種クリストッフェル記号の計算。参考まで極座標での計算も示しておく。

これを定義通りに計算するのは大変なので，計量テンソルの対称性から簡略化できるところはしていく。

今後は逆にクリストッフェル記号から方程式を導出する。難しく見える項は条件より大半が消えてくれるので，後は微分方程式の計算に帰着する。

共変微分がテンソルであることを示しておく。

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