書記が数学やるだけ#682 ジョルダン分解

まずはジョルダン分解について。

問題

説明

ジョルダン分解は，正方行列を半単純部分と冪零部分とに分ける。

解答

冪零行列の特徴として，固有値が0のみであることが重要。

行列の可換と同時対角化は同値，これは量子力学でも重要な事実である。

ジョルダン分解について，まず存在性を示す。ここで，SとNは共に多項式であることに注目。

一意性については，可換性により示すことができる。

具体例について，固有値と対応する多項式を求めることで
実際に求めることができる。

一つ応用として，フロベニウスの定理を証明する。

これを用いると，置換行列を用いて巡回行列の固有値を求めることができる。

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