書記が数学やるだけ#253 極限と積分の順序交換，Arzelàの定理

極限と積分の順序交換についての追加事項を扱う。

問題

説明

極限と積分の交換が可能となる条件の一つは，「閉区間」で連続な関数列が「一様収束」すること，を以前示した。

「一様収束」でなく，「一様有界」で良いとしたものがArzelàの定理である。これはLebesgueのの優収束定理の特別な場合である。

Mの代わりに優関数にしても，同じことが成立する。

解答

まず，一様収束ならば順序交換可能であることを示しておく。

次に，Arzelàの定理を証明する。「一様収束」を「一様有界」に変えただけなのだが，難易度はグッと上がる。

snが連続であれば，ここでDiniの定理を使うことで証明が終わる。

ここからは，snが連続ではない（高々有限個の不連続点をもつ）場合について。

本記事のもくじはこちら：