書記が数学やるだけ#881 漸近級数展開

物理でも頻出の漸近級数展開についてここでまとめておく。

問題

説明

漸近展開とは，与えられた関数をより簡単な形をした関数列の級数として近似であり，元の関数の形では扱いが難しい場合に用いられる。

性質の注意として，与えられた関数の漸近級数は存在しても唯一とは限らないこと，項別微分が元の関数を微分した関数の漸近展開になるとは限らないこと，が挙げられる。

解答

漸近級数の簡単な例としてテイラー展開が挙げられる。

積分の漸近展開を求める基本は部分積分であり，最後に剰余項を評価する。

本問では積分範囲を分けることで発散を防いでいる。

項別積分が可能であることは，漸近級数の定義から容易に示せる。

項別微分が可能な条件は，「関数とその微分の冪級数による漸近級数展開が可能で，その微分が積分可能」である。

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