書記が数学やるだけ#47 ベクトル空間と部分空間の例

今回からベクトル空間について考えていく。この辺りから抽象的な話題が増えてきて，線形とはなんぞやと考えることになる。

問題

説明

ベクトル空間の抽象的な定義。加法とスカラー倍について，それぞれ閉じているのが重要。

ベクトル空間の公理は，以下の8つ。

部分空間であるかどうかは，零ベクトルの存在と，加法とスカラー倍についてそれぞれ閉じているかどうかを確認する。

解法

部分空間かどうかを判定するには，以下の3つの条件について考える。

(1)について，零ベクトルの存在は0を代入して成り立つのでOK，あとは和とスカラー倍について確認すればよい。

(2)のように非同次の解は，零ベクトルの存在で引っかかる。

2次式以上になると，和で不成立となる。

不等式は，スカラー倍で不成立。

行列でも，部分空間であることがある。

こうしてみると，線形というものは壮大でありながらも結構限定的な概念にも思えて来る。

線形性の判定は，今後形を変えてよく出でくるので慣れておくといい。

追記：

2020上智大（法,経済,外国語）にてベクトル空間の判定に関する問題が出題されたようだ。これは完全に線形代数を履修する理系向けの問題だろう。やることは本記事でやったのと同様。

参考：

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