書記が数学やるだけ#11 積分計算-2（置換積分）

積分に慣れておくことは，応用数学においては基礎中の基礎。いずれ積分だけの記事とか書きたいところ。

問題

個々の問題ごとに戦略をメモしておく。

解法

(1)ではsinに固めていって置換。

(2)は，分母分子にe^xをかけることで因数分解ができる。

(3)はたまたま見つけた院試問題（非数学理系）で，大問1で定積分のみを聞いている。単純に知っているかどうかにかかっていると思う。この形は複数の戦略があるので，そのうちの2つをここでは示す。最悪tanθに変換すればどうにかなるが，この形では計算量が増えてしまうので非推奨。

まずルートの中身をt-xと置く方法，この手の形ではとても楽になる方法だが，なぜtではなくt-xなのかは知っておきたいところ。

もう一つ，双曲線関数に置き換える方法。慣れるまで思いつきもしないだろうが，なかなかエレガント。

変数変換の根拠は，媒介変数表示により示される（tanへの変換も同様）。

(4)は有名な東大の定積分。積分だけで大問一つというのは，東大では初のことらしい。肝心の本問はというと，分解して個別に積分すれば解ける。基本的な計算力を問うものであり，絶対に失点できないレベルの難易度だろう。

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