書記が数学やるだけ#916 判別式と仮因子
判別式と仮因子の関係について。
問題
説明
仮因子とは，代数体の整数環において「どんな元を選んで計算しても必ず割り切る共通の素数」である。
解答
代数体 F の基底とα が生成する集合の基底について線形結合で書き，行列式により公式が示せる。
もし OF がべき基底を持つと仮定すると指数 は1 となるが，仮因子 p が存在する場合m(θ)=1 は p で割り切れないため矛盾する。よって，仮因子が存在するならば，べき乗根で表せない。
スティッケルベルガーの定理は，判別式を4 で割った余りは 0 か 1 しかないことを示している。
この多項式はデデキントによるもので，仮因子 2 が存在することからべき基底を持たない。
一方で，本問は仮因子がないがべき基底を持たないという例である。
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