書記が数学やるだけ#217 ピタゴラス数の性質，フェルマーの最終定理（n=4）

ピタゴラス数から話を進めて，フェルマーの最終定理の初歩を見てみる。

問題

ピタゴラス数の諸性質は平方剰余により示すことができる。

説明

例えば，平方数m^2を3で割った余りは，mが3の倍数ならば0，mが3の倍数でないならば1，といったことが言える（合同式により容易に示せる）。

フェルマーの死後330年経った1995年にアンドリュー・ワイルズによって完全に証明された，フェルマーの最終定理は有名だろう。しかしフェルマー本人が証明したのはn=4の場合のみらしい。

解答

ピタゴラス数の性質について，平方剰余を考え余りが一致しないことを示す。

ここではaとbの偶奇が異なることを利用するとスマートである。

フェルマーの最終定理のn=4について，無限降下法を用いて示す。まず，(x^2,y^2,z)が原始ピタゴラス数であることから，pとqで表していく。

すると，(y,q,p)も原始ピタゴラス数であり，aとbに変換する。ここで冒頭に戻り，両辺が平方数であることが示せる。

以下が無限降下法である。

ということは，原始ピタゴラス数(x,y,z)から別の原始ピタゴラス数(X,Y,Z)が生成できることとなる。しかしこの操作を繰り返すとzはいくらでも小さくとれるが，これは自然数であることに反するため矛盾。

n=3の場合はオイラーによって解かれたとされ，これには整数環の知識が要求される。さらに近代になると，モジュラー形式の導入，谷山–志村予想などを経て，フェルマーの死後330年経った1995年にアンドリュー・ワイルズによって完全に証明された。

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