書記が数学やるだけ#471 位数と原始根

原始根の性質について整数論から見ていく。

問題

説明

位数，原始根の定義について。

解答

まずは具体例から。余りが循環しており，さらにa=3,5ではちょうど1~6が1回ずつ表れている点に注目。

位数はp-1を割り切ることを示す。

原始根における余りについて。

任意の素数は原始根を持つことの証明。また，その個数はオイラーのφ関数により表せる。

原始根についての規則性を辿るのは難しい。例えば「pを法として2が原始根となる素数pは無数に存在するか？」はアルティン予想と呼ばれる未解決問題である。

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