書記が数学やるだけ#864 自由群，自由積の普遍性

ファン・カンペンの定理の準備のために，自由群，自由積の普遍性を見ておく。

問題

説明

自由群とは，公理から来る自明なもの以外に元の間の等式がない群である。

生成元と基本関係による群の表示とは、群をその生成元と生成元の間に成り立つ関係によって特定することを言う。

解答

普遍性について，以前はテンソル積で扱ってきた。

自由群の普遍性について，誘導される写像の存在は，文字xx^-1あるいはx^-1xの除去・挿入により不変であることから示される。

一意性については，以下のようにもう一つ同様の図式を持ち，自然な包含写像同士の関係から示される。

自由積についてもやることは同じ。

自由群の具体例について，{x}により生成される自由群はZと同型である。これは自由群の元がe,x,x^2,x^-4などと表され，指数部分だけで見ればZであることからもわかる。ここでは文字xx^-1あるいはx^-1xの除去・挿入による不変を用いる。

生成元が{x}で語からなる集合が{x^m}である自由群は，位数mの巡回群で表される。これはxの指数部分がmで割った余りで表示されることからもわかる。ここでは関係r,r^-1の除去・挿入も考える必要がある。

最後に，2文字の元からなる自由群はZ×Zと同型である。

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