書記が物理やるだけ#197 調和振動子のポテンシャル

1次元束縛問題についてもう一つ，調和振動子のポテンシャルについて。

問題

ここで特殊関数の一つであるエルミート微分方程式についても示しておく。

説明

調和振動子は，古典力学でいうばねの振動を分子レベルで考える際に必要になる。

解答

まずはエルミート微分方程式について。この場合，級数解を仮定して解くのが良い。整理すると係数の漸化式が得られる。

ここでkが大きい場合を考えると，そのままでは発散してしまう。発散しないには有限個で和を打ち切ればよい。

そうするにはλは奇数でなければならない。さらにnについて場合分けして，解が偶関数か奇関数で表せることがわかる。

ここで解の具体的な表示も与えておく。

調和振動子ポテンシャルのシュレーディンガー方程式は，無次元化を含む変数変換によりエルミート微分方程式の解で表せるようになる。

基底状態の場合について，波動方程式の具体的な形を与えておく。

最後に不確定性関係について。計算ではガウス積分の性質を用いる。

このことからゼロ点エネルギーが存在することが言える。

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