書記が数学やるだけ#375 重積分の理論

2変数関数の積分についてまとめておく。

問題

説明

2重積分の積分範囲について，矩形が基本となる。

大体の性質は，変数が増えても同様である。

参考：

累次積分の厳密な証明はフビニの定理などを参照。

重積分と偏導関数の相互関係について。

矩形を一般化していくことで，任意の積分範囲について考えられるようになる。

重積分から，面積が定義できる。

曲線について。

解答

2重積分のイメージ。

累次積分について，平均値の定理を用いて証明する。

偏導関数との関係について，これは不定積分に相当する式である。

具体例をいくつか。累次積分で，まずyについて計算し次にxについて計算する。

積分範囲を2つに分けて，最後に足す方法をとる。

これは色々な分け方が想定され，どれでやっても値は同じである。

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