書記が数学やるだけ#926 フロベニウス置換の性質

フロベニウス置換の性質についてここで示しておく。

問題

説明

有限体のガロア群は、フロベニウス写像によって生成される巡回群となることが知られている。一般に、基礎体の素イデアル p の上にあるすべての素イデアルに対応するフロベニウス元の集合は、特定の上の素イデアルの選び方に依らず、ガロア群における一つの共役類を形成し、これをフロベニウス類と呼ぶ。

特に、不分岐な素イデアル p に対してこの類は単一の元からなる集合となり、フロベニウス自己同型（元）が一意に定まる。

解答

剰余体のガロア群 Gal(κ(P)/κ(p)) と、分解群 Z と惰性群 T の商群 Z/T の同型は、分解群の定義、および惰性群を核とする自然な全射準同型の構成から、群の第一同型定理を用いて示される。

さらに、剰余体におけるフロベニウス写像に対応する Z/T の元（フロベニウス類）が、この巡回群の生成元となることも導かれる。

底にある素数 p の上にある別の素イデアル P^σ（σ∈G）を選択すると、そのフロベニウス置換は元の置換の σによる共役となる。したがって、σ をガロア群 G 全体で動かしたとき、これらのフロベニウス置換は一つの共役類を形成する。これを p におけるフロベニウス類と呼ぶ。

中間体 K′ について、K/K′ における（素イデアル P に関する）フロベニウス写像は、K/F におけるフロベニウス写像の f′ 乗に一致する。特に不分岐な場合、これはガロア群の元として σ_p^f′  という冪乗そのものに一致する。

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