書記が数学やるだけ#941 分散不均一の時系列モデル

ARCHモデル・GARCHモデルについて。

問題

説明

時系列データにおいて、分散（ボラティリティ）が時間とともに変化する性質を分散不均一性と呼ぶ。金融市場の株価や為替レートなどでよく見られる「大きく動く時期（高ボラティリティ）と、穏やかな時期（低ボラティリティ）が塊になって現れる現象」をモデル化したものが、ARCHモデルおよびGARCHモデルである。

解答

ARCH(q)モデルでは、現時点の条件付き分散（ボラティリティ） σt2  を、過去 q 期間の平方誤差 yt−i2  の線形結合として表現する。特に定常性を仮定する場合、無条件分散は時間を通じて一定となる。

また、4次モーメントの計算から、本モデルの尖度（Kurtosis）は必ず3より大きく（κ>3）なることが示される。これは、金融データ特有の「極端な暴落や急騰が、通常の正規分布の想定よりも高い頻度で発生する現象（ファット・テイル）」を、数学的に捉えていることを意味する。

GARCH(1,1) モデルにおける無条件分散は、ARCH(1) モデルの帰結を拡張する形で導出される。本モデルにラグ演算子 L を導入して変形すると、現時点の条件付き分散が「無限過去にわたる平方誤差 ϵt−i2​ に、幾何級数的に減衰するウェイト（α1​β1i−1​）を乗じて足し合わせたもの」に等しいことが示される。すなわち、GARCH(1,1) モデルは、わずか3つのパラメータ（α0​,α1​,β1​）のみで、無限の過去の記憶（ARCH(∞)）を効率的にカプセル化して表現できるという優れた実用性と数学的簡潔性を備えている。

推定されたパラメータに基づくボラティリティの持続性（Persistence）は、α1​+β1​=0.15+0.80=0.95 である。この値が1に極めて近いことは、市場に一度発生したショック（動揺）が非常に緩やかにしか減衰せず、高ボラティリティ状態が長期にわたって群発（クラスタリング）するという金融市場の実証的特徴を反映している。

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