書記が数学やるだけ#940 見せかけの回帰，共和分過程
時系列を扱う上で注意が必要な，見せかけの回帰と共和分過程について。
問題
説明
見せかけの回帰とは、統計学や計量経済学において、統計的に独立である無関係の二つの時系列変数が最小二乗法による回帰分析において統計的に有意な係数の推定値を取ってしまうという問題である。クライヴ・グレンジャーとポール・ニューボールドによって1974年にモンテカルロ法を用いたシミュレーションで発見され、ピーター・フィリップスによって1986年に理論的に示された。
もし変数 (X, Y, Z) が全て1次の和分過程であり、ある係数 a,b,c が存在して aX+bY+cZ が0次の和分過程となるならば、(X, Y, Z) は共和分しているという。時チャールズ・ネルソンとチャールズ・プロッサーが行った研究では、アメリカの多数のマクロ経済時系列（例えば、GNP、賃金、雇用者数など）は確率的なトレンドを持つ、すなわち単位根過程であるか、1次の和分過程であった。彼らはまたこれらの単位根過程が標準的ではない統計的性質を持っている事を示した。この結果から、伝統的な計量経済学の手法をこれらの系列に適用することは出来ないということが明らかとなった。
解答
独立な単位根過程（I(1)）同士を回帰させると、実際には無関係（真の β=0）であっても、以下の数理的メカニズムにより統計的な誤謬が生じる。
・推定量 β^ の非一致性：β^ の漸近分布は、ブラウン運動 W(r) を用いた確率変数の比として表される。ここで，通常の回帰とは異なり、分子・分母ともに T2 のオーダーで発散するため、サンプルサイズ T を増やしても T が相殺され、β^ は 0 に収束せず特定の分布に留まり続ける。
・t 統計量の発散と第一種の過誤 ：t 統計量は Op (√T) のオーダーで発散するため、サンプルサイズが大きくなるほど、どんなに小さな相関も有意と判定されてしまう。これにより、本来無関係な変数間に強い関係があると誤認する「第一種の過誤」が極めて高い確率で発生する。
実際のシミュレーションでも，独立なランダムウォーク同士を回帰させた場合、本来 β の真の値は 0 にもかかわらず極端に高い t 値を取る。見せかけの回帰であるかを確認する方法にDurbin-Watson (DW) 比があり，残差に自己相関がない場合は 2.0 前後の値をとる。今回の場合，Durbin-Watson: 0.033であることから，見せかけの回帰が強く疑われる。
import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
import matplotlib.pyplot as plt
# 1. 独立なランダムウォークの生成
np.random.seed(42)
T = 500 # サンプルサイズ
steps_x = np.random.normal(0, 1, T)
steps_y = np.random.normal(0, 1, T)
x = np.cumsum(steps_x) # I(1)過程
y = np.cumsum(steps_y) # I(1)過程
# 2. 回帰分析 y = alpha + beta*x + u
X = sm.add_constant(x)
model = sm.OLS(y, X).fit()
# 3. 結果の表示
print("--- 演習問題1: 見せかけの回帰の結果 ---")
print(model.summary())
# 4. 可視化
plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.plot(x, label='Independent Random Walk X')
plt.plot(y, label='Independent Random Walk Y')
plt.title(f"Spurious Regression (T={T})\nR-squared: {model.rsquared:.3f}, t-stat: {model.tvalues[1]:.3f}")
plt.legend()
plt.show()
一方で、複数の時系列変数が共通のトレンドを共有している場合、それらの間には共和分（Cointegration）関係が存在し、長期的な均衡が保たれる。
・誤差修正表現（ECM）の意義：共和分関係にある変数は、グレーンジャーの表現定理に基づき、短期的な変動と長期的な調整を同時に記述する「誤差修正モデル」として定式化できる。
・誤差修正係数 γ の動学的役割：誤差修正項の係数 γ は、通常 負の値 (γ<0) をとる。これはシステムが均衡から外れた際、以下のフィードバック・メカニズムによって自己修正を行うためである。
【均衡回復のメカニズム】
乖離の発生：一時的なショック ut により、長期均衡関係からズレが生じる。
ズレの検知：誤差修正項 zt−1 （前期の均衡からの乖離）が有意な値（正または負）をとる。
負の係数 γ による調整：γ<0 により、ズレを打ち消す方向の調整（逆方向の変化 Δyt ）が誘発される。
均衡への回帰：システムは時間の経過とともに再び長期的な均衡水準へと引き戻される。
import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
import matplotlib.pyplot as plt
# 1. 共通トレンドシステムの生成
np.random.seed(123)
T = 500
alpha, beta = 0.8, 1.2
# 共通トレンド w (ランダムウォーク)
w = np.cumsum(np.random.normal(0, 1, T))
# 定常ショック u (白雑音)
u1 = np.random.normal(0, 0.5, T)
u2 = np.random.normal(0, 0.5, T)
# システム構造
x = alpha * w + u1
y = beta * w + u2
# 2. 共和分関係の確認 (z = y - (beta/alpha)*x)
z = y - (beta / alpha) * x
# 3. 誤差修正モデル (ECM) の推定
# dy_t = gamma * z_{t-1} + delta * dx_t + error
dy = np.diff(y)
dx = np.diff(x)
z_lag = z[:-1] # 1期前の誤差修正項
# 定数項なしのECM回帰
ecm_data = pd.DataFrame({'dy': dy, 'dx': dx, 'z_lag': z_lag})
ecm_model = sm.OLS(ecm_data['dy'], ecm_data[['dx', 'z_lag']]).fit()
# 4. 結果の表示
print("\n--- 演習問題2: 誤差修正モデル (ECM) の推定結果 ---")
print(ecm_model.summary())
# 5. 可視化 (長期均衡への引き戻し)
plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(x, label='x (alpha*w + u1)')
plt.plot(y, label='y (beta*w + u2)')
plt.title("Cointegrated Series (Shared Trend)")
plt.legend()
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(z, color='red', label='Equilibrium Error (z = y - (beta/alpha)x)')
plt.axhline(0, color='black', linestyle='--')
plt.title("Stationary Equilibrium Error I(0)")
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()シミュレーションについて，誤差修正係数 z_lag は期待通り負の値であり，t 値も -17.426 と極めて有意である。これは、長期的な均衡関係が存在し、そこから外れた場合に「引き戻そうとする力」が統計的に実在することを証明している。
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