書記が数学やるだけ#825 行列群，ユークリッドの運動群の性質

行列で表現できる群の性質をいくつか見ておく。

問題

説明

一般線型群は線型空間上の自己同型写像のなす群，言い換えると基底を固定することで正則行列のなす群である。

ここで線型写像・表現行列・基底変換の関係を再度示しておく。

特殊線型群は行列式1の行列からなる群，射影線型群は一般線型群の中心による剰余群である。

次に直交群について，これは直交行列からなる群であり，回転行列・置換行列・反射行列などを含む。

アフィン群は，線型変換と平行移動の組み合わせであるアフィン変換からなる群である。

ユークリッドの運動群は，ユークリッド距離に付随する等長変換（合同変換）からなる群であり，古典力学の運動を記述する。

解答

一般線形群の中心について，対角行列からなることを示していく。ここで，一般線型群の中心による剰余群をとることで射影線型群を構成することができる。

原点に固定した等長変換群の元について，まずは線形変換であることを示す。

原点に固定した等長変換群は直交群と同型であることを内積不変から示す。

ここで，直交群の元は2次元回転の組み合わせと1次元下の直交群の積で表されることを示しておく。

これを用いて，直交群の元は二次元回転と恒等変換or鏡映変換の積で表されることが言え，原点Oに固定した運動群は特殊直交群と同型であることが直ちに示せる。

最後に，運動群は回転群と平行移動群の半直積に分解されることを簡単に示しておく。

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