書記が数学やるだけ#943 関数解析における基底の例

無限次元線型空間を扱う上で基底の区別が重要である。

問題

説明

線形代数における「基底」とは通常ハメル基底を指し、有限個の線形結合による表現を意味する。一方、無限次元空間においては収束という概念を考慮した「無限和（級数）」を扱うのが自然であるため、有限和の制限を外したシャウダー基底が重要視される。

ベールのカテゴリー定理は，直感的には「完備な空間は，どれだけ小さな集合を寄せ集めても，空間全体をスカスカにすることはできない」ということを主張している。

解答

ベールのカテゴリー定理の証明について。完備距離空間において，各開稠密集合との交わりの中に半径を0に収束させる入れ子状の閉球列を帰納的に構成し，空間の完備性によりその極限点がすべての開稠密集合の共通部分に含まれることを示す。

ハメル基底の例を示しておく。

ベールのカテゴリー定理を用いることで，無限次元バナッハ空間 X は可算個のハメル基底を持たないことを示せる。

ℓp 空間（1≤p<∞）においては、無限に続く成分の末尾部分はノルムの定義上無視できるほど小さくなるため、標準単位ベクトルの級数は収束する。

一方で ℓ∞ 空間においては、成分が 1 のまま収束しない数列のように、上限ノルムの意味で級数の収束を保証できない元が存在するため、標準単位ベクトルの列はシャウダー基底として機能しない。

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