書記が数学やるだけ#919 2次体における有理整数の素イデアル分解

2次体における有理整数の素イデアル分解について具体例を見ていく。

問題

説明

2次体における有理素数の分解には，分解・分岐・惰性の3種類がある。

解答

整数環の任意の素イデアル P に対し，ただ一つの有理素数 p が存在して P∩Z=pZ となることから，すべての素イデアル P は普通の素数 p が生成するイデアル (p) を分解することで得られることがわかる。

また，有理素数 p が生成するイデアル (p)=pOK  は、(p)=P（惰性）,PP′（分解）,P^2（分岐）の3つのパターンのいずれかで分解されることが言える。

素数 p の分解挙動はクロネッカー記号の値によって決まることを示す。

m=−14 の場合，m−14≡2(mod4) なので判別式はd=4×(−14)=−56であり，これにより分解の挙動が決まる。

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