書記が物理やるだけ#313 1次元イジング模型
磁性体に関するモデルをいくつか見ていくことにする。
問題
説明
キュリーの法則とは「常磁性物質においては、 その物質の磁化はかけられた磁場に正比例する」法則であり，この関係は1895年にピエール・キュリーによ実験的に発見され，その後ポール・ランジュバンにより理論的に導出された。
キュリー・ワイスの法則とは，強磁性や反強磁性のキュリー点（強磁性体が常磁性体に変化する転移温度）以上の温度における磁化率の振る舞いを説明する法則で，ピエール・ワイスが1907年に発表した分子場理論により求めた。
イジング模型とは，二つの配位状態をとる格子点から構成され最隣接する格子点のみの相互作用を考慮する格子模型であり，スピン系における相転移現象を記述可能なモデルである。
イジングの提案の段階で，一次元（格子系）での厳密な解は求められていて，有限温度での相転移を起こさないことが示されていた。
解答
スピン磁気モーメントと外部磁気の和を考えることで磁気モーメントが求められる。ここで外部磁場が十分に小さい時，磁気モーメントと温度の反比例関係（キュリーの法則）が示せる。
イジング模型では隣接の相互作用のみ考える。
境界条件として周期性を仮定すると，全体の分配関数は1ペアの分配関数のN乗で示すことができる。
エントロピー・比熱の両方とも連続関数で示すことができ，これは1次元イジング模型では相転移がないことを示している。
外部磁場がある場合は，σiとσi+1の4通りの組を同時に考える必要があり，これは転送行列を導入することで一気に記述できるようになる。
分配関数は転送行列のN乗のトレースであり，これは対角化により求めることができる。
これにより磁気モーメントを求めることができた。
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