書記が数学やるだけ#946 線形作用素における3つの基本定理

線形作用素における3つの基本定理である一様有界性原理・開写像定理・閉グラフ定理を証明する。

問題

説明

ベールのカテゴリー定理を用いることで，線形作用素における3つの基本定理である一様有界性原理・開写像定理・閉グラフ定理を示すことができる。

解答

ベールのカテゴリー定理の核心は、「完備距離空間を可算な数の閉集合の和で表したとき、少なくとも1つの閉集合は内点を持つ」という性質である。

各 n∈N に対し Xn ={x∈X∣supλ ∥Tλ x∥≤n} とおくと，各 Tλ  の連続性より Xn  は閉集合となる。 各点有界性より X=⋃n=1∞ Xn  であり，X の完備性からベールのカテゴリー定理を適用すると，ある Xn0  は内点を持つ。したがって，ある開球 B(x0 ,r)⊂Xn0  が存在する。

任意の ∥h∥<r に対し x0 +h∈Xn0  となるため，線形性と三角不等式より，すべての λ に対して作用素ノルムは ∥Tλ ∥≤r2n0 <∞ となり，一様有界性が示される。

開写像定理については，A:X→Y を全射の連続線形作用素，BX (0,1) を X の単位開球として，A(BX (0,1)) が Y の 0 の近傍を含むことを示せばよい。

グラフ空間 Γ(T)={(x,Tx)∣x∈X} は X×Y の閉部分空間であり、それ自体がバナッハ空間となる。 第一成分への射影写像 P1 :Γ(T)→X ((x,Tx)↦x) を考えると、これは連続かつ全単射な線形作用素である。Γ(T) と X はともにバナッハ空間であるため、開写像定理より逆写像 P1−1 :X→Γ(T) (x↦(x,Tx)) も連続となる。 第二成分への射影 P2 :Γ(T)→Y の連続性から、T=P2 ∘P1−1  は連続（有界）であることが示される。

一様有界性原理により，連続関数のフーリエ級数が各点で収束しない例の存在証明ができる。

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