書記が数学やるだけ#598 2次曲線のアフィン変換

2次曲線と放物線・楕円・双曲線の同値を示す。

問題

「放物線・楕円・双曲線は2次曲線である」ことは明らかなので，その逆「任意の2次曲線は，放物線，楕円，双曲線のいずれかである」を示す。

解答

平行移動，回転（アフィン変換の一種）をしても2次曲線であることを示しておく。

まず，回転によりxy項を無くしておく。a,bいずれかが0なら放物線になりうる。

値によっては直線になったり，存在しなかったりもする。

abが0でないとき，さらに平行移動して項を減らせる。ab>0なら楕円になりうる。

ab<0なら双曲線になりうる。

以上より2次曲線と放物線・楕円・双曲線の同値が示せた。

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