書記が物理やるだけ#190 井戸型ポテンシャルの例題

ここで一旦，井戸型ポテンシャルにおけるシュレーディンガー方程式を解いてみることにする。

問題

1次元の深さ無限の井戸型ポテンシャルが最も簡単な例だろう。

説明

ボルンの規則は1926年のマックス・ボルンの論文で示され，確率としての解釈の中心となっている。

井戸型ポテンシャルは，量子力学の問題を考える上で有用なモデルである。以後，さまざまなパターンについて見ていくことにする。

解答

シュレーディンガー方程式の解の特徴について，問題を通して例示する。

今回の場合，シュレーディンガー方程式は2階微分方程式とみなせる。規格化では全確率1の式を用いる。また，エネルギー準位は固有値として表される。

ここで，固有関数の直交性を示しておく。これはフーリエ変換と深い関係がある。

ゼロ点エネルギーの存在を示してみる。

不確定性関係の値を見積もるためには，オブザーバブルの計算が必要である。ここでは定義をざっくり示したのちに計算を実行しておくにとどめる。期待値・分散は統計学ではお馴染みだろう。

最終的に出てきた値は，後に示す最小値よりも多いことが言える。

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