書記が数学やるだけ#696 フォードの円
ファレイ数列に関係のあることとして，フォードの円について入試問題から見ていく。
問題
説明
フォードの円は1938年にフォードの円について言及したアメリカの数学者レスター・フォードの名前に因んで名づけられた。
解答
慶應SFCでは算額に関する図形問題が出題されている。フォードの円に相当する問題は算額にもあったのである。
2つの外接する円が与えられているとき，その2つの円と共通外接線の中に外接する小さな円の大きさを求める。
では東大の問題へ，面倒ではあるがルールさえ把握できれば計算するのみ。まずは3つの円の関係から漸化式を組み立てていく，この際②で示したことを念頭におくと楽に進められる。最終的にqnはフィボナッチ数列として表すことができる。
式を足し引きしていくと，最終的にpnもフィボナッチ数列であり，qnと1項ずれたものであることがわかる。
xn（フォボナッチ数列の隣あう項の比）の極限について知っている人は瞬殺だろう。ここでは誘導に従って不等式から評価する。
xnの極限が黄金比であることが求められた。
東大は，前半に小難しい技法を解かせて最終的にフィボナッチ数列に帰着させる問題が多い気がする。
本記事のもくじはこちら：
