書記が数学やるだけ#499 等周問題に関する入試問題

等周問題について，いくつか問題を解く。

問題

解答

周の長さが一定である三角形の中で，面積が最大のものは正三角形である。これを示すには，二等辺三角形を仮定して面積最大となる高さを求めればよい。

別解としてヘロンの公式を用いる方法もある，予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」より：

周の長さが一定である四角形の中で，面積が最大のものは正方形である。これを示すには，ブレートシュナイダーの公式を使う。

また，周の長さが一定であるn角形の中で，面積が最大のものは正n角形である。

最後に，周の長さが一定である図形の中で，面積が最大のものは円である。これはディドの問題ともいい，変分法で解くのが一般的。

今回はこれに関する問題を紹介する。

明らかにx/sinxの極限が見えるので，これをもとに変形する。また，微分の定義による変形も行う。

目当ての不等式になるように計算していく。

後で等号条件が重要になってくる。

色々とある条件を用いて式変形をする。最後に出てきた不等式は，周長と面積の関係を示している。

等号条件を整理すると，面積最大の図形は半円であることがわかる。

本記事のもくじはこちら：