書記が物理やるだけ#426 コーシーの応力公式，線形弾性体の行列表示

弾性力学の続きをいくつか扱っていく。

問題

説明

コーシーの応力公式は「ある応力状態σに対し，切断面（法線ベクトルn）を決めると，面に働く力（応力ベクトルT）が決まる。」ことを示している。

応力とひずみの線形関係は、弾性スティフネス行列を用いて表される。

特に等方性物質においては以下の通り。

解答

コーシーの応力公式は、微小四面体を想定し、面積の投影関係 dAj​=nj​dA を用いることで導出される。

具体例を一つ示しておく。

4階の弾性スティフネステンソル Cijkl  は、3次元空間において各添字が 1, 2, 3 の値をとるため、3^4=81 個の成分を持つ。これに応力（σij ）とひずみ（ϵkl ）の対称性を適用することで、独立な成分は 36 個にまで減少し、6×6 行列の Voigt表記 による記述が可能となる。さらに、歪みエネルギー密度の存在条件から行列の対称性が導かれ、独立成分は 21 個まで集約される。

直交異方性材料（Orthotropic material）の場合、互いに直交する3つの対称面（x1 ,x2 ,x3  平面）を持つ。この対称性により「垂直応力とせん断ひずみの非連成（結合しない性質）」が生じ、独立成分は 9個 となる。

さらに、一方向強化材（UD材）のように x1  軸を繊維方向とし、その垂直断面（x2 -x3  平面）内で性質が等しい横等方性材料（Transversely isotropic material）では、軸の等価性と断面内の等方性から、独立成分は 5個 に減少する。具体的には以下の成分が独立となる：C11 繊維方向の剛性，C22 繊維直角方向の剛性，C12 ：繊維方向と直角方向の相互作用，C23 ：繊維直角方向どうしの相互作用，C44 ：繊維を含む面のせん断剛性（G12 ）。

最後に、すべての軸まわりの回転対称性を満たす等方性材料と仮定すると、独立成分は 2個 のみとなる。

このとき、スティフネス行列の各成分はラメの定数 λ,μ を用いて以下のように表される。

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