書記が数学やるだけ#934 微分形式のリー微分と内部積

リー微分について内部積による表示を見ていく。

問題

説明

内部積は、k-形式の第1引数に特定のベクトル場 X を代入することで、次数を一つ下げた (k−1)-形式を構成する操作である。この内部積・リー微分・外微分の間には、「カルタンの公式」と呼ばれる重要な関係が成り立つ。

解答

内部積iX は線型かつウェッジ積 ∧ に対し以下の関係が成り立つ。

リー微分と外微分の間には可換性が成り立つ。また，リー微分に関して積の法則が成り立つ。

これらの性質から，カルタンの公式が示せる。

リー微分の具体的な計算を一つ示しておく。

ハミルトン力学における「リウヴィルの定理」を微分幾何学の言葉で説明する。ハミルトンベクトル場についてカルタンの公式を用いると、リー微分が0になる 。これは、物体が運動しても、相空間上の体積が変化せず一定に保たれることを意味している。

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