書記が数学やるだけ#642 ヘビサイドの展開定理

ラプラス変換を用いる上で頻出の部分分数分解について，係数比較をする以外にヘビサイドの展開定理による方法がある。

問題

説明

ヘビサイドの展開定理は，部分分数分解の裏技として紹介されることもある。

解答

根が実数か複素数か，単根か重根かでそれぞれ場合分けをする。

具体例をいくつか。まずは実数の単根のみの場合で，それぞれの分子をK1,K2とおく。ここでs+1をかけてs=-1を代入すると，K2の項が0になってK1が求められる。また，s+3をかけてs=-3を代入すると，K2の項が0になってK1が求められる。あらかじめ分母を払っているので，代入しても問題ない。

重根がある場合は，分母を払った式を次数だけ微分することで各分子が求められる。

複素数の根を含む場合は，分母の形さえ工夫すれば実数と同じ手順で求められる。

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