書記が経済やるだけ#5 労働と資本の生産関数

生産関数の性質について見ていく。

問題

説明

生産関数は，生産物の最大可能な産出量を生産要素の投入量Lに対応して表す関数である。

まず生産関数が労働のみにより決まる場合（短期の生産関数），利潤最大化において限界生産性=実質賃金となる。

次に生産関数が労働と資本により決まる場合（長期の生産関数）を考える。

労働と資本の代替性は，等量曲線の限界代替率で表される。

このときの利潤最大化は，限界代替率=要素価格比で表され，さらにさまざまな式変形ができる。

解答

限界代替率=限界生産性の比であることは，生産関数の全微分を変形して示せる。

利潤最大化の条件をいくつか示していく，まずは等費曲線の性質によるものから。

ここで，生産関数が凹関数であることを仮定すると，利潤も凹関数であることから，極値と最大値が一致して，偏微分=0により条件が示せる。

最後に具体例について，コブ=ダグラス型生産関数を見ていく。KとLの指数について，和1は収穫一定であること，0<a<1は限界生産性の逓減性を反映している。利潤最大化は上で示した式により示すことができる。

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