書記が数学やるだけ#883 オイラーの和公式

漸近展開の応用の一つとして，オイラーの和公式を取り上げる。

問題

説明

オイラーの和公式（オイラー・マクローリンの公式）は，1735年頃オイラーとマクローリンにより独立に発見された級数の和を与える公式であり，収束の遅い無限級数の和を求めるときに有効である。

解答

関数f(x)に周期的ベルヌーイ多項式Pn(x)をかけたものを繰り返し部分積分する。

これを整理し足し合わせることで証明が終わる。

実際の例として，逆数和の漸近展開を示す。ここで定数Cはオイラーの定数である。

阪大理系数学の問題について，実際には積分で左右から評価するのが一般的だが，オイラーの和公式からも解くことができる。

参考：

ひとまずm=1で計算しておく。

本記事のもくじはこちら：