書記が数学やるだけ#879 2次元系の分岐

分岐理論の2次元への拡張を扱う。

問題

説明

2次元力学系の分岐のうち，サドルノート分岐・トランスクリティカル分岐・ピッチフォーク分岐は以前に扱ったものと同様である。

ホップ分岐は，線形近似に対する複素共役な二つの固有値が複素平面の虚軸を横切ることで生じる。

解答

超臨界ホップ分岐では，安定スパイラルと不安定スパイラル+リミットサイクルが行き来する。

一方で亜臨界ホップ分岐では，安定リミットサイクル+安定固定点+不安定リミットサイクルと不安定スパイラル+リミットサイクルが行き来する。

以下の遺伝子の制御系モデル（x;タンパク質，y;mRNA）では，サドルノート分岐が生じている。

各固定点の性質は以下の通り。

サドルが生じるパラメータにおいて様々な初期値を試す，これは遺伝子のオン／オフに対応する。

捕食者-被食者モデルでは，超臨界ホップ分岐が生じている。

パラメータを変えてみると，リミットサイクルの有無の違いが見てとれる。

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