書記が数学やるだけ#28 広義積分（ガウス積分の証明）

今回は，様々な分野で応用されるガウス積分について扱っていく。

これは高校数学の範囲外ではあるが，2015年東工大に出題されている（範囲が有限で不等式の証明，意地でも出そうとして余計ややこしくなっている難問）。

問題

解法

有名な証明方法，1度は触れておこう。あえて2乗して，片方の変数を変えるのが鍵。

はさみうちの原理をしない簡略バージョンもあるが，一応ここでははさみうちの原理を用いる。

ガンマ関数の特殊な例。後で見るように，確率統計の分野で頻出。

③の関数は，標準正規分布の確率密度関数である。

(1)では，いわゆる「確率の総和は1」であることを示している（詳しくはコルモゴロフによる公理系を参照）。

(2)では期待値を求めている。

(3)は分散を求めるのに必要な式である。

(4)はモーメント母関数。

いずれも確率統計をやる上で基礎的な事項なので，計算に慣れておきたい。

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