書記が数学やるだけ#491 ペル方程式の解の構造

ペル方程式の解はどんな形なのか。

問題

説明

ペル方程式の解は，以下の漸化式から生成することができる。

解答

(1)はブラーマグプタの恒等式である。(2)は前回と同じ考え方で，解が無数に存在することが示せる。

群論じみた問題で，本問ではペル方程式の解の形を示す。

まずは最小の元を求める。

(2)では積と逆数がGに含まれることを示せばよい。(3)は式変形。

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