書記が数学やるだけ#842 独立性の測度論的性質

確率における独立性を直積測度から見ていく。

問題

説明

直積測度，フビニの定理について復習：

独立性は共通部分の確率=各事象の確率の積で表され，以下でこれを測度論の用語で整理していく。

ボレル・カンテリの補題は「確率の和が有限なら無限に多くの回起こる確率は0」であることを示している。一方で第2種ボレル・カンテリの補題はちょうど反対の帰結を示すが，独立性を課している点が異なる。

解答

ボレル・カンテリの補題は劣加法性から示す。

第2種ボレル・カンテリの補題は，指数関数で評価して，減少列連続性から示していく。

「確率変数が独立である」ことと「確率変数の分布は直積で表される」ことの同値性を示す。

確率変数が独立のときにおける期待値の積の分解は，フビニの定理から容易に示される。

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