書記が数学やるだけ#948 コンパクト作用素と閉作用素の例

コンパクト作用素と閉作用素について，具体例を通して見ていく。

問題

説明

コンパクト作用素は，バナッハ空間 X から別のバナッハ空間 Y への線型作用素 L であって，X の任意の有界集合を Y の相対コンパクト集合へ写す作用素である。

閉作用素は，バナッハ空間 X,Y とその部分空間（定義域） D(T)⊂X に対し，グラフ G(T)={(x,Tx)∣x∈D(T)} が直積空間 X×Y の強位相に関して閉集合となる線形作用素である。

解答

ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理を用いて，値域 R(T) が有限次元であれば T はコンパクト作用素であることが示せる。

例としてヒルベルト・シュミット積分作用素がコンパクト作用素であることを示す。まず有界性から。

コンパクト性を示すには、 L2([a,b]×[a,b]) の完全正規直交系（ONB）が {ϕi (x)ϕj (y) }i,j=1∞  で構成されることを利用し、核関数 K(x,y) を2次元一般化フーリエ展開する。ここで、有限の N 項で打ち切った近似核 KN (x,y)を導入し、これに対応する積分作用素 TN :L2(a,b)→L2(a,b) を定義する。

任意の f∈L2(a,b) に対する像 TN f は有限個の関数族 {ϕ1 ,…,ϕN } の線形結合で表されるため、値域の次元は dimR(TN )≤N<∞ となり、 TN  は有限ランク作用素である。またパーセバルの等式より、核の残差の L2 ノルムは N→∞ のときに 0 に収束する。最終的にはさみうちの原理より ∥T−TN ∥→0 、すなわち有限ランク作用素の列 {TN } は元の積分作用素 T に作用素ノルムの意味で収束する。

微分作用素は，非有界な閉作用素の例である。

線形作用素 T が有界ではないことを示すには、入力 xn  の L2 ノルムが一定（または有界）であるにもかかわらず、出力 Txn =xn′  の L2 ノルムが無限大に発散するような有界関数列（高周波振動する関数列）を構成する。

絶対連続関数の定義より、任意の s,t∈I に対し x(t)−x(s)=∫st x′(τ)dτ が成り立つ。これにシュワルツの不等式を適用して各点平価を行う。

積分の極限操作において、各点収束（一様収束）と L2 収束のトポロジーを、(2)の不等式を用いて結びつけることで証明する。

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