書記が数学やるだけ#239 凸関数，相加相乗平均

今回は凸関数について考える。

問題

説明

定義の式は，グラフに書いてみるとわかりやすい。

一階導関数が0になるところを極値という。高次関数では，極大でも極小でもない停留点が現れる場合がある。

解答

→を示すには，2階微分の式に持っていけるような式変形を施す。

←を示すにはTaylorの公式を使う。

(2)の式は，Jensenの不等式に関連したものである。これに-logxを代入することで，n変数の相加相乗平均の関係が容易に示せる。

実際の入試問題での例。2021早大では3変数の相加相乗平均の関係（あるいは3変数のCauchy–Schwarzの不等式）を知っていないと厳しい問題が出題された。

とはいえ，過去にはn変数の相加相乗平均の証明問題を出題しているところもあるので，証明を知った上で自在に使いこなせるようになっておきたい。

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