書記が数学やるだけ#837 ベルヌーイ数と冪乗和

何回かに分けてベルヌーイ数について見ていく。

問題

ベルヌーイ数の計算は，高校数学の集大成の一つだろう。

説明

ベルヌーイ数を最初に取り扱ったのは関孝和であるが，ほぼ同時期に，関とは独立してスイスの数学者ヤコブ・ベルヌーイが発見したことからこの名がついている。まず，漸化式による定義を示す。

ベルヌーイ数から冪乗和の公式を示すことができる。

解答

ベルヌーイ数の具体例を順に求めていく。

(2)を解くにあたり，まずは小さいnで実験する。

規則を推測して，Tは以下のような形で表せる。このTは，冪乗和の公式を導出する上で鍵となる。

冪乗和同士の差の式を繰り返し微分することで，ベルヌーイ数による表示が得られる。

nが3以上の奇数のベルヌーイ数は0となることを示しておく。

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