書記が数学やるだけ#72 複素関数の具体例
今回は，さまざまな関数を複素数に拡張することを考える。
問題
実数では考えられられないような数も，複素数に拡張することで表現できるようになる。
説明
指数関数を考えるにはオイラーの公式が重要。
三角関数を拡張する。見た目はずいぶん変わっているが基本的な性質は実関数と同様である。
双曲線関数については，複素数に拡張することで三角関数との対応が見えるようになる。
対数関数も，定義に従って拡張する。注意点として，多価関数であり，周期ごとに虚部の値が無数に考えられる。
そのたくさんあるうちの一つを主値Logとして扱う。logと主値Logの区別を忘れないように。
解法
指数関数は，実部と虚部に分けて，虚部はオイラーの公式より変換できる。
和積の公式で分解して，双曲線関数に変換した。
次に方程式の問題。
極形式に変換して指数関数を求め，そこから対数関数を導く。
sin や cos は，実数では値域は-1から1に限定されていた。複素数に拡張すると，それ以外の数も表現できるようになる。
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