書記が数学やるだけ#693 レイリー=ビーティの定理
ガウス記号を用いた自然数を分解する方法であるレイリー=ビーティの定理を示す。
問題
説明
ビーティ列がその名で呼ばれるようになるのは、1926年に雑誌 American Mathematical Monthly においてサミュエル・ビーティが提起した問題に由来する。この問題はおそらく、その雑誌に提案された中でも最も引用される問題の一つである。しかし、それよりもずっと以前の1894年に、同じ数列がレイリーの著書 The Theory of Soundの第二版で簡単に言及されている。
面白いことに，正の無理数の整数倍の床関数をとることによって得られる整数列は自然数の全てを網羅できる。
解答
慶應の問題では誘導がついており，これより(1)は容易に示せる。
yについても同様に不等式を立て，両辺を足して条件により変形することで(2)が成立する。
m,n,kが整数であることから不等式は等式となり，x,yが有理数で表せることが言えた。
今度はx,yが無理数の時を考える，これはガウス記号を等号なしの不等式で表される。最終的にkが等号なしの不等式で表されることから，kは整数でないことが言える。
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