【行間を読む】猪木・川合「量子力学I」p. 281 (合流型超幾何微分方程式の極限解析)

キーワード

• 微分方程式

• 解の零点での挙動

• 合流型超幾何微分方程式

該当箇所

１変数$z$の関数$u(z)$に対する微分方程式で、

$$\left( z \dfrac{d^2}{dz^2} + (\gamma-z) \dfrac{d}{dz} - \alpha \right)u=0\qquad(A.16)$$

の形のものを合流型超幾何微分方程式という。$z$が$0$および無限大のまわりにあるときは、(A.16) は、

$$\begin{array}{}\left(z\dfrac{d^2}{dz^2}+\gamma\dfrac{d}{dz}\right)u=0\qquad(A.17a)\\\left(\dfrac{d^2}{dz^2}-\dfrac{d}{dz}\right)u=0\qquad(A.17b)\end{array}$$

となるから、１次独立な２つの解は$z\sim0$のまわりでは、

$$u\sim z^0,\quad z^{1-\gamma}\quad (z\sim0)\qquad(A.18a)$$

疑問

(A.17a) はどんな極限操作によって導出されたのか。

解説

$z$についての次数を考慮すれば良い。

関数$u$をTaylor級数で表して、最低次の項が$z^\beta$であるとする。$z^\beta$を(A.16)に代入すると

$$\beta(\beta-1)z^{\beta-1}+\gamma\beta z^{\beta-1}-\beta z^\beta-\alpha z^\beta=\beta(\beta+\gamma-1)z^{\beta-1}+o(z^{\beta-1})=0$$

であり、これを$\beta$について解けば(A.18a)を得る。

ここから遡って考えれば、(A.17a)の意味も自ずとわかる。(A.17a)は(A.16)の中で次数が最低となるものを選んで持ってきている。