2024年東京大学の数学入試を2通りで解いてみた。

　今回は数学に苦手意識のある方向けにもわかるように書きました（そもそも苦手意識のある人がこの記事読むのだろうか）。解法は自己流なので不足している部分があるかもしれませんが、どうかご了承ください。さて、今回解く問題はこちら。

　難易度は対数の基本を理解していればすんなり解けるレベルです。少なくとも難関大を合格するなら確実に取っておきたい問題。

解法1

　対数について少しおさらいすると、対数は計算の難易度を1段階下げる、累乗は掛け算、掛け算は足し算、累乗根は割り算、割り算は引き算になります。
　問題文の$0.3 < \log_{10} 2 < 0.31$は、$10^{0.3}<2<10^{0.31}$という意味です。
　　
　さて、$5=10÷2$より、$\log_{10} 5$の値は$\log_{10} 10$と$\log_{10} 2$の差で求められます。

　$0.3 < \log_{10} 2 < 0.31$より、$0.69 < \log_{10} 5 < 0.7$

　(1)は$5^n>10^{19}$となる最小の自然数nでした。

　両辺の対数をとって、$n・ \log_{10} 5 >19$（・は掛け算記号）

　19を0.69、0.7で割ったときの整数値はどちらも27。つまりn=28で19より大きくなる。したがって、最小の自然数nは28となります。

　次の解法は僕が最初に思いついた方法です。正直、かなり手間がかかります。(2)は最後に考えます。

解法2

　まずは右辺の$10^{19}$を素因数分解します。
　$10^{19} = 2^{19} ・5^{19}$
　次に$n= 19＋k$と置き、$5^k> 2^{19}$となるような自然数kを考えます。

　問題文の$0.3 < \log_{10} 2 < 0.31$より、対数では累乗の計算は掛け算になるので各数字に19を掛けて、

　$5.7< \log_{10} 2^{19}< 5.89$
　よって、$10^5<2^{19}<10^6$

　$10^5= 2^5・ 5^5$、$10^{6} = 2^{6} ・ 5^{6}$より、両辺を$2^5$で割って、

　$5^5<2^{14}<2・5^6$

　さらに、$5^3＝125$、$2^7＝128$ですから、$5^6<2^{14}$であることがわかります。ということは、不等式の範囲は$5^5<2^{14}<2・5^6$から、

　$5^6<2^{14}<2・5^6$

　まで絞り込むことができました。そして、$5^2<2^5$から$5^8<2^{19}$。$2^6<5^3$より$2^{20}・2・5^9$で両辺を2で割って$2^{19}<5^9$です。まとめると、

　$5^8<2^{19}<5^9$

　したがってkは9となり、nは9＋19=28よりn=28となります。

　一応、備忘録として書きましたが、なぜこんな面倒な解法が出てきたのか自分でも不思議です。それでは(2)を考えましょう。

　(2)は$5^m + 4^m > 10^{19}$となる最小の自然数を求める問題でした。
　とりあえず(1)の結果を使って誘導に従いましょう。$5^n>10^{19}$となる最小のnが28ですから、$5^{27}<10^{19}<5^{28}$です。

　では、$5^{27}$と$10^{19}$にはどれくらいの差があるのでしょう。

　$0.69 < \log_{10} 5 < 0.7$でしたから、各数字に27を掛けて、

　$18.63< \log_{10} 5^{27} < 18.9$

　19との差を考慮すると、$0.1< \log_{10}\frac{10^{19}}{5^{27}}<0.37$なので、少なくとも$10^{19}$は$5^{27}$の$10^{0.1}$倍。

　$0.3 < \log_{10} 2 < 0.31$より、$10^{0.1}$はだいたい$\sqrt[3]{2}$と同じくらいですね。
　$1.2^3=1.728$で2より小さいので、$1.2・5^{27}<10^{19}$です。
　これは書き換えると、$5^{27} +0.2・5^{27}< 10^{19}$。
　0.2を掛けるのは5で割ることと同じですから、$5^{27} +5^{26}< 10^{19}$
を意味しています。あとは、$5^{26}$と4の累乗を比較すればよさそうです。

　$17.94< \log_{10} 5^{26} < 18.2$であり、$16.2< \log_{10} 4^{27}< 16.74$ですから、明らかに、$4^{27}< 5^{26}$。

これで、$5^{27} +4^{27}< 10^{19}$であることがわかります。
　(1)の結果から、最小のmは28です。

　簡潔に記しましたが、この記事を書くにあたって、ルーズリーフを裏表すべて使って計算しました。いい頭の体操になります。